Question

18．在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=$\frac{3}{5}$，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A₁B₁C，且点B₁在线段BA延长线上（如图）．
（1）求证：BB₁∥CA₁；
（2）求△A₁B₁C的面积．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质和等腰三角形的性质证出∠B₁CA₁=∠AB₁C，即可得出结论；
（2）作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性质和三角函数求出BD，DCBC，由勾股定理求出AD，求出△ABC的面积，再由旋转的性质即可得出△A₁B₁C的面积．

解答 （1）证明：∵AB=AC，B₁C=BC，
∴∠AB₁C=∠B，∠B=∠ACB，
∵∠AB₁C=∠ACB（旋转角相等），
∴∠B₁CA₁=∠AB₁C，
∴BB₁∥CA₁；

（2）解：作AD⊥BC于D，如图所示：
∵AB=AC=5，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∵cos∠ABC=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∴BD=3，
∴BC=2BD=6，
在Rt△ABD中，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=4，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×6×4=12；
由旋转的性质得：△A₁B₁C≌△ABC，
∴△A₁B₁C的面积=12．

点评 此题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角函数、勾股定理以及三角形面积的计算，求出BC和AD是解决问题（2）的关键．