题目内容

5．已知，如图（1），在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD，以D为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°．
（1）求△AED的周长．
（2）若Rt△AED以每秒2个单位长度的速度沿射线DC方向移动，当Rt△AED与△BDC没有重叠部分时停止运动．设运动的时间为t秒，Rt△AED与△BDC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）如图（2），在（2）中，当Rt△AED停止移动后，将它绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°），在旋转过程中，B的对应点为B′，点E的对应点为E′，设直线B′E′与直线BE交于点P，与直线CB交于点Q，是否存在这样的α，使△BPQ为等腰三角形？若存在，求出α的度数；若不存在，请说明理由．

分析 （1）在Rt△ADE中，解直角三角形即可；
（2）在△AED向右平移的过程中：
（I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为一个三角形；
（II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形；
（III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为一个五边形．
（3）根据旋转和等腰三角形的性质进行探究，结论是：存在α（30°和75°），使△BPQ为等腰三角形．如答图4、答图5所示．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6．
在Rt△ADE中，AD=6，∠EAD=30°，
∴AE=AD•cos30°=3$\sqrt{3}$DE=AD•sin30°=3$\sqrt{3}$，
∴△AED的周长为：6+3+3=9+3$\sqrt{3}$．

（2）在△AED向右平移的过程中：
（I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为△D0NK．

∵DD0=2t，∴ND0=DD0•sin30°=t，NK=ND0÷tan30°=$\sqrt{3}$t，
∴S=S△D0NK=$\frac{1}{2}$ND0•NK=t•$\sqrt{3}$t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t2；
（II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为四边形D0E0KN．
∵AA0=2t，∴A0B=AB-AA0=12-2t，
∴A0N=$\frac{1}{2}$A0B=6-t，NK=A0N•tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（6-t）．
∴S=S四边形D0E0KN=S△A0D0E0-S△A0NK=$\frac{1}{2}$×3×3$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×（6-t）×$\frac{\sqrt{3}}{3}$（6-t）=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$t2+2$\sqrt{3}$t-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
（III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为五边形D0IJKN．

∵AA0=2t，∴A0B=AB-AA0=12-2t=D0C，
∴A0N=$\frac{1}{2}$A0B=6-t，D0N=6-（6-t）=t，BN=A0B•cos30°=$\sqrt{3}$（6-t）；
易知CI=BJ=A0B=D0C=12-2t，
∴BI=BC-CI=2t-6，
S=S梯形BND0I-S△BKJ=$\frac{1}{2}$[t+（2t-6）]•$\sqrt{3}$（6-t）-$\frac{1}{2}$•（12-2t）•$\frac{\sqrt{3}}{3}$（12-2t）=-$\frac{13\sqrt{3}}{6}$t2+20$\sqrt{3}$t-42$\sqrt{3}$．
综上所述，S与t之间的函数关系式为：
S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}（0≤t≤1.5）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{6}{t}^{2}+2\sqrt{3}t-\frac{3\sqrt{3}}{2}（1.5＜t≤4.5）}\\{-\frac{13\sqrt{3}}{6}{t}^{2}+20\sqrt{3}t-42\sqrt{3}（4.5＜t≤6）}\end{array}\right.$；

（3）存在α，使△BPQ为等腰三角形．
理由如下：经探究，得△BPQ∽△B1QC，
故当△BPQ为等腰三角形时，△B1QC也为等腰三角形．
（I）当QB=QP时（如答图4），

则QB1=QC，∴∠B1CQ=∠B1=30°，
即∠BCB1=30°，
∴α=30°；
（II）当BQ=BP时，则B1Q=B1C，
若点Q在线段B1E1的延长线上时（如答图5），

∵∠B1=30°，∴∠B1CQ=∠B1QC=75°，
即∠BCB1=75°，
∴α=75°；
若点Q在线段E1B1的延长线上时（如答图6），

∵∠B1=30°，∴∠B1CQ=∠B1QC=15°，
即∠BCB1=180°-∠B1CQ=180°-15°=165°，
∴α=165°．
综上所述，存在α=30°，75°或165°，使△BPQ为等腰三角形．

点评 本题考查了运动型与几何变换综合题，难度较大．难点在于：其一，第（2）问的运动型问题中，分析三角形的运动过程，明确不同时段的重叠图形形状，是解题难点；其二，第（3）问的存在型问题中，探究出符合题意的旋转角，并且做到不重不漏，是解题难点；其三，本题第（2）问中，计算量很大，容易失分．

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