题目内容
7．如图甲，正方形ABDC中，连接BC，点M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点C，且直角顶点放在点E处，点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线相交于点F．（1）在AC上取一点N，使AN=AE，求∠CNE的度数；
（2）求证：CE=EF．
（3）如图乙，当点E是AB边延长线上的任意位置时，（2）中的结论还成立吗？如果不成立请写出正确的结论；如果成立请说明理由．
（4）“正方形ABCD”换成△ABC是等边三角形，将一个有60度角的三角尺的放在点E处，如图丙（∠CEF=60°），其他条件不变，请直接判断△CEF的形状（不要求证明）．
分析 （1）由正方形的性质和邻补角的性质得到∠CNE=135°；
（2）根据图形可以得到DE=EF，NE=BF，要证明这两个关系，只要证明△DNE≌△EBF即可；
（3）延长AC到N使AN=AE，连接EN，证出△DNE≌△EBF即可得出答案．
（4）连接NE，在DA边上截取DN=EB，证出△DNE≌△EBF即可得出答案．
解答 解：（1）在正方形ABCD中，
∵∠A=90°，
∵AN=AE，
∴∠ANE=45°，
∴∠CNE=135°．
（2）∵BF平分∠DBM，
∴∠EBF=135°，
∴∠CNE=∠EBF，
∵AC=AB，AN=AE，
∴CN=BE，
∵∠FEB+∠AEC=∠ACE+∠AEC=90°，
∴∠ACE=∠FEB，
在△CNE与△FBE中，
，
∴△CNE≌△FBE（ASA），
∴CE=EF；
（3）如图1，延长AC到N使AN=AE，连接EN，∵AC=AB，
∴CN=BE，
∴∠N=∠FBE=45°，∠NCE=∠BEF=135°-∠BCE，在△NCE与△BEF中，
，
∴△NCE≌△BEF（ASA），
∴CE=EF；
（4）如图2，在AC上截取AN=AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，
∴∠ANE=∠AEN=60°，
解：（1）在正方形ABCD中，∵∠A=90°，
∵AN=AE，
∴∠ANE=45°，
∴∠CNE=135°．
（2）∵BF平分∠DBM，
∴∠EBF=135°，
∴∠CNE=∠EBF，
∵AC=AB，AN=AE，
∴CN=BE，
∵∠FEB+∠AEC=∠ACE+∠AEC=90°，
∴∠ACE=∠FEB，
在△CNE与△FBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠FEB}\\{CN=BE}\\{∠CNE=∠EBF}\end{array}\right.$，
∴△CNE≌△FBE（ASA），
∴CE=EF；
（3）如图1，延长AC到N使AN=AE，连接EN，
∵AC=AB，
∴CN=BE，
∴∠N=45°，∠NCE=∠BEF=135°-∠BCE，
在△NCE与△BEF中，
∠NCE=∠BEF，CN=BE，
而BF平分∠CBM，
∴∠FBM=67.5°，
∴∠N≠∠FBE，
∴△NCE与△BEF不全等，
∴CE≠EF；
（4）如图2，在AC上截取AN=AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，
∴∠ANE=∠AEN=60°，
∴∠CNE=∠EBF=120°，
∠1=∠2=60°-∠3，
在△CNE与△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{CN=EB}\\{∠CNE=∠EBF}\end{array}\right.$，
∴△CNE≌△EBF，
∴CE=EF，
∵∠CEF=60°，
∴△CEF是等边三角形．
点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用．
正方形ABCD的边长为3，M是DC上一点，且DM=1，N是对角线AC上的一动点，求DN+MN的最小值．
如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AC=BQ；④DE=DP；⑤CP=CQ；⑥∠AOB=60°．
已知△AEG、△AEC、△BFG、△BCF的面积分别为2，5，7，3平方厘米，则△EFB的面积为$\frac{29}{7}$平方厘米．| A． | x＜$\frac{1}{2}$ | B． | x≤$\frac{1}{2}$ | C． | x＞$\frac{1}{2}$ | D． | x≥$\frac{1}{2}$ |