Question

如图，在锐角△ABC中，AC是最短边；以AC中点O为圆心，AC长为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连结AE、AD、DC．

（1）求证：D是的中点；

（2）求证：∠DAO =∠B +∠BAD；

（3）若，且AC=4，求CF的长.

 

Answer 1

证明：（1）∵AC是⊙O的直径

∴AE⊥BC  

∵OD∥BC

∴AE⊥OD    

∴D是的中点   

（2）方法一：

如图，延长OD交AB于G，则OG∥BC  

∴∠AGD=∠B

∵∠ADO=∠BAD+∠AGD  

又∵OA=OD

∴∠DAO=∠ADO

∴∠DAO=∠B +∠BAD   

方法二：

如图，延长AD交BC于H

则∠ADO=∠AHC

∵∠AHC=∠B +∠BAD   

∴∠ADO =∠B +∠BAD

又∵OA=OD

∴∠DAO=∠B +∠BAD  

（3） ∵AO=OC    ∴

∵  ∴ 

∵∠ACD=∠FCE     ∠ADC=∠FEC=90°

∴△ACD∽△FCE   

∴   即:    

∴CF=2