Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的限距点的定义如下：若P′为直线PC与⊙C的一个交点，满足r≤PP′≤2r，则称P′为点P关于⊙C的限距点，如图为点P及其关于⊙C的限距点P′的示意图.

(1)当⊙O的半径为1时.

①分别判断点M(3，4)，N(，0)，T(1，)关于⊙O的限距点是否存在？若存在，求其坐标；

②点D的坐标为(2，0)，DE，DF分别切⊙O于点E，点F，点P在△DEF的边上.若点P关于⊙O的限距点P′存在，求点P′的横坐标的取值范围；

(2)保持(1)中D，E，F三点不变，点P在△DEF的边上沿E→F→D→E的方向运动，⊙C的圆心C的坐标为(1，0)，半径为r，请从下面两个问题中任选一个作答.

问题1：若点P关于⊙C的限距点P′存在，且P′随点P的运动所形成的路径长为πr，则r的最小值为__________.

问题2：若点P关于⊙C的限距点P′不存在，则r的取值范围为_________.

Answer 1

【答案】(1)①点M、点T关于⊙O的限距点不存在，点N关于⊙0的限距点存在，坐标为(1，0)；②﹣1≤x≤﹣或x＝1；(2)问题1：；问题2：0＜r＜.

【解析】

(1)①根据限距点的定义即可判断.

②分三种情形：①当点P在线段EF上时，②当点P在线段DE、DF(不包括端点)上时，③当点P与点D重合时，分别说明即可解决问题.

(2)问题1：如图2中，△PP′C是等边三角形，点P在PP′上运动时，有限距点，列出不等式即可解决.

问题2：如图2中，当点H不存在限距点时，点P就不存在限距点，列出不等式即可解决.

解：(1)①如图

M(3，4)，N(，0)，T(1，)

当⊙O的半径为1时即

，点M的限距点不存在；

，点T的限距点不存在；

，，点N的限距点存在即为

所以点M、点T关于⊙O的限距点不存在，点N关于⊙O的限距点存在，坐标为(1，0).

②∵点D坐标为(2，0)，⊙O半径为1，DE、DF分别切⊙O于E、F，

由对称可得F(，﹣)

∴切点坐标为(，)，(，﹣)，

如图所示，不妨设点E(，)，点F(，﹣)，EO、FO的延长线分别交⊙O于点E′、F′，则E′(﹣，﹣)，F′(﹣，).

设点P关于⊙O的限距点的横坐标为x，

①当点P在线段EF上时，直线PO与⊙O的交点P′满足1≤PP′≤2，故点P关于⊙O的限距点存在，其横坐标x满足﹣1≤x≤﹣.

②当点P在线段DE、DF(不包括端点)上时，直线PO与⊙O的交点P′满足0＜PP′＜1或2＜PP′＜3，故点P关于⊙O的限距点不存在.

③当点P与点D重合时，直线PO与⊙O的交点P′(1，0)，满足PP′＝1，故点P关于⊙O的限距点存在，其横坐标x＝1.

综上所述点P关于⊙O的限距点的横坐标x的范围为﹣1≤x≤﹣或x＝1.

(2)问题1：如图中，

∵△DEF是等边三角形，点C是△DEF的外接圆的圆心，

∵若点P关于⊙C的限距点P′存在，且P′随点P的运动所形成的路径长为πr，

∴图中△PP′C是等边三角形，点P在PP′上运动时，有限距点，

∵PC∥ED，

∴＝＝，

∴PC＝，

由题意：r≤﹣r≤2r，

∴，

∴r的最小值为.

问题2：如图中，当点H不存在限距点时，点P就不存在限距点，

∵HC＝，

∴﹣r＞2r，

∴r＜，

∴0＜r＜时点P的限距点不存在.

故答案分别为，0＜r＜.