Question

10．如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上的点，CE⊥DB交DB的延长线于点E，且∠CBE=∠ABC．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：CD=CA；
（3）若AC=4，AB=5，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由AB为⊙O直径，得到∠ACB=90°，求得∠ECB=∠A，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACO，等量代换得到OC⊥CE，于是得到CE是⊙O的切线；
（2）连接AD，由AB为⊙O直径，得到AD⊥DE，推出CE∥AD，根据平行线的性质得到∠ECD=∠ADC，根据弦切角定理得到∠CAD=∠ECD，等量代换得到∠CAD=∠ADC，于是得到AC=CD；
（3）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据勾股定理得到BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=3，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）直线CE与⊙O相切，
理由：连接OC，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵CE⊥DB，
∴∠E=90°，
∵∠CBE=∠ABC，
∴∠ECB=∠A，
∵OC=OA，
∴∠A=∠ACO，
∵∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠ECB+∠OCB=90°，
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）连接AD，
∵AB为⊙O直径，
∴AD⊥DE，
∵CE⊥DE，
∴CE∥AD，
∴∠ECD=∠ADC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠CAD=∠ECD，
∴∠CAD=∠ADC，
∴AC=CD；
（3）∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，AC=4，AB=5，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=3，
∵∠CAB=∠∠CDB，
∴Rt△ACB∽Rt△DEC，
∴$\frac{AB}{DC}$=$\frac{CB}{CE}$，即$\frac{5}{4}$=$\frac{3}{CE}$，
∴EC=$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．