Question

【题目】如图已知直线与抛物线y=ax2+bx+c相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，﹣），交x轴正半轴于D点，抛物线的顶点为M．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求△PAB的面积及点P的坐标；

（3）若点Q为x轴上一动点，点N在抛物线上且位于其对称轴右侧，当△QMN与△MAD相似时，求N点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2），P（，）；（3）N（3，0）或N（2+，1+）或N（5，6）或N（，1﹣）．

【解析】

（1）将点代入，求出，将点代入，即可求函数解析式； （2）如图，过作轴，交于，求出的解析式，设，表示点坐标，表示长度，利用，建立二次函数模型，利用二次函数的性质求最值即可， （3）可证明△MAD是等腰直角三角形，由△QMN与△MAD相似，则△QMN是等腰直角三角形，设 ①当MQ⊥QN时，N（3，0）； ②当QN⊥MN时，过点N作NR⊥x轴，过点M作MS⊥RN交于点S，由（AAS），建立方程求解； ③当QN⊥MQ时，过点Q作x轴的垂线，过点N作NS∥x轴，过点作R∥x轴，与过M点的垂线分别交于点S、R；可证△MQR≌△QNS（AAS），建立方程求解； ④当MN⊥NQ时，过点M作MR⊥x轴，过点Q作QS⊥x轴，过点N作x轴的平行线，与两垂线交于点R、S；可证△MNR≌△NQS（AAS），建立方程求解．

解：（1）将点代入，∴，

将点代入，

解得：，

∴函数解析式为；

（2）如图，过作轴，交于，设为，

因为：所以：

，解得：，

所以直线AB为：，设，则，

所以：，

所以：

，

当，，

此时：．

（3）∵，

∴，

∴△MAD是等腰直角三角形．

∵△QMN与△MAD相似，∴△QMN是等腰直角三角形，

设

①如图1，当MQ⊥QN时，此时与重合，N（3，0）；

②如图2，当QN⊥MN时，过点N作NR⊥x轴于，过点M作MS⊥RN交于点S．

∵QN=MN，∠QNM=90°，∴（AAS），

∴，

∴ ，，∴，∴；

③如图3，当QN⊥MQ时，过点Q作x轴的垂线，过点N作NS∥x轴，过点作 R∥x轴，与过点的垂线分别交于点S、R；

∵QN=MQ，∠MQN=90°，∴△MQR≌△QNS（AAS），,

,∴，∴t=5，（舍去负根）∴N（5，6）；

④如图4，当MN⊥NQ时，过点M作MR⊥x轴，过点Q作QS⊥x轴，

过点N作x轴的平行线，与两垂线交于点R、S；

∵QN=MN，∠MNQ=90°，∴△MNR≌△NQS（AAS），∴SQ=RN，

∴，∴．

，∴，∴；

综上所述：或或N（5，6）或．