Question

【题目】（新知探究）新定义：平面内两定点 A, B ，所有满足 k ( k 为定值)的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，

（问题解决）如图，在ABC 中，CB 4 ， AB 2AC ，则ABC 面积的最大值为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作∠CAP=∠ABC，AP与BC的延长线交于点P，证出△APC∽△BPA，列出比例式可得BP=2AP，CP=AP，从而求出AP、BP和CP，即可求出点A的运动轨迹，最后找出距离BC最远的A点的位置即可求出结论．

解：以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作∠CAP=∠ABC，AP与BC的延长线交于点P，

∵∠APC=∠BPA， AB 2AC

∴△APC∽△BPA，

∴

∴BP=2AP，CP=AP

∵BP－CP=BC=4

∴2AP－AP=4

解得：AP=

∴BP=，CP=，即点P为定点

∴点A的轨迹为以点P为圆心，为半径的圆上，如下图所示，过点P作BC的垂线，交圆P于点A1，此时A1到BC的距离最大，即ABC的面积最大

S△A1BC=BC·A1P=×4×=

即ABC面积的最大值为

故答案为：．