Question

12．抛物线y=-3x²-2x+m与x轴交于A、B两点，P为顶点．
（1）当△PAB为Rt△时，求m的值；
（2）当△PAB为等边三角形时，求m的值，你能得到什么结论吗？

Answer 1

分析 由抛物线与x轴的交点得出判别式＞0，得出m的取值范围，再求出A、B、P的坐标；
（1）根据等腰直角三角形的性质得出方程，解方程即可；
（2）根据等边三角形的性质得出方程，解方程即可．

解答 解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=（-2）²-4×（-3）×m=4+12m＞0，
解得：m＞-$\frac{1}{3}$，
由题意得：P的坐标是（-$\frac{1}{3}$，$\frac{3m+1}{3}$）
A的坐标是（$\frac{-2-\sqrt{4+12m}}{6}$，0），B的坐标是（$\frac{-2+\sqrt{4+12m}}{6}$，0）；
（1）当△PAB时直角三角形时，如图1所示：
根据题意得：-$\frac{1}{3}$-$\frac{-2-\sqrt{4+12m}}{6}$=$\frac{3m+1}{3}$，
解得：m=0或m=-$\frac{1}{3}$（不合题意，舍去），
故m=0；
（2）当△PAB为等边三角形时，如图2所示：
根据题意得：-$\frac{1}{3}$-$\frac{-2-\sqrt{4+12m}}{6}$=$\sqrt{3}$×$\frac{3m+1}{3}$，
解得：m=-$\frac{1}{3}$（不合题意，舍去），或m=-$\frac{2}{9}$，
∴m=-$\frac{2}{9}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点坐标、根的判别式、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质；本题有一定难度，需要画出图形，根据题意得出方程才能得出结果．