Question

6．计算下面各题
（1）计算：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{98×99}$+$\frac{1}{99×100}$
（2）计算：1+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$+$\frac{1}{1+2+3+4}$+…+$\frac{1}{1+2+3+…+2015}$．

Answer 1

分析 （1）归纳总结得到一般性规律，利用得出的拆项方法计算即可；
（2）首先将原式变形得出原式$\frac{2}{1×2}$+$\frac{2}{2×3}$+$\frac{2}{3×4}$+…+$\frac{2}{2015×2016}$，进而利用拆项法求出即可．

解答 解（1）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{98}$-$\frac{1}{99}$+$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{100}$，
=1-$\frac{1}{100}$
=$\frac{99}{100}$；

（2）1+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$+$\frac{1}{1+2+3+4}$+…+$\frac{1}{1+2+3+…+2015}$
=$\frac{2}{1×2}$+$\frac{2}{2×3}$+$\frac{2}{3×4}$+…+$\frac{2}{2015×2016}$
=2（$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2015×2016}$）
=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$）
=2（1-$\frac{1}{2016}$）
=$\frac{2015}{1008}$．

点评 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．