Question

如图，矩形OABC的边OA、OC都在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，3），动点P从O点出发在线段OA上以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，点D在对角线AC上，且AD=2，设运动时间为t秒．
（1）请写出△APD的面积S关于t 的函数关系式______，此时t的取值范围是______．
（2）若在动点P从O点出发的同时，有一动点Q从A点出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，动点P停止时，点Q也随之停止，请问在运动过程中，当t为何值时，CP⊥PQ？
（3）在点P的运动过程中，是否存在以A、D、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时t的值和对应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）过点D作DE⊥OA，交OA于点E，
∵点B（4，3），四边形ABCD是矩形，
∴OA=BC=4，AB=OC=3，
∴点A（4，0），点C（0，3），
∴AC===5，
∵DE⊥OA，
∴DE∥OC，
∴=，
∵AD=2，
∴=，
解得DE=，
∵P的速度是每秒2个单位长度，
∴OP=2t，
∴AP=OA-OP=4-2t，
∴S_△APD=AP•DE=×（4-2t）×=-t+，
∵AC=4，
∴AC=2，
∴t的取值范围是0≤t≤2；

（2）如图，过点Q作QF⊥OA于点F，
∵CP⊥PQ，
∴∠CPQ=90°，
∴∠QPA+∠CPO=90°，
∵∠CPO+∠OCP=90°，
∴∠QPA=∠OCP，
∴△COP∽△PQF，
∴=，
∵Q的速度是每秒1个单位长度，
∴AQ=t，
∴QF=AQ•sin∠OAC=t•=t，
AF=AQ•cos∠OAC=t•=t，
∴PF=OA-OP-AF=4-2t-t=4-t，
故=，
解得t=，
当t=秒时，CP⊥PQ；


（3）存在三种情况，使△PDA为等腰三角形．
①AD=AP时，∵AD=2，AD=AP，
∴AP=2，
∴OP=OA-AP=4-2=2，
∴==1（秒），
∴当t=1秒时，△PDA是等腰三角形；
②AD=PD时，底边为AP，
∵AD=PD，DE⊥OA，
∴AE=PE，
∵DE∥OC，
∴=，
∴=，
解得AE=，
∴AP=2AE=，
∴OP=OA-AP=4-=，
∴OP=×=，
即当t=秒时，△PDA是等腰三角形；
③AP=PD时，底边为AD，
过点P作PF⊥AD，
∵AP=PD，
∴AF=DF=AD=×2=1，
∵EF⊥AD，∠CAO=∠DAE，
∴△APF∽△ACO，
∴=，
∴=，
解得AP=，
∴OP=OA-AP=4-=，
∴OP=×=，
即当t=秒时，△PDA是等腰三角形．
分析：（1）过点D作DE⊥OA，然后根据勾股定理求出AC的长度，再根据平行，利用对应边成比例列式求出DE的长度，然后根据三角形的面积公式列式即可得解，再根据路程、速度与时间的关系求t的取值范围；
（2）过点Q作QF⊥OA于点F，然后判定△COP和△PQF相似，利用∠OAC的正弦求出QF的长度，再表示出PF的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可求出t的值；
（3）因为等腰三角形的腰不明确，所以分①AD=AP时，②AD=PD时，底边为AP，③AP=PD时，底边为AD，然后分别列式进行计算求解．
点评：本题主要考查了矩形的性质，三角形的面积以及等腰三角形的判定，综合性较强，难度较大，需要仔细分析并细心进行计算，（3）中要注意分情况进行讨论．