题目内容
如图，已知线段OA1=1，过点A1作A1A2⊥OA1，且A1A2=1，连接OA2，再过点A1作A2A3⊥OA2，且A2A3=1，连接OA3，如此作出线段A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，也得到了n条线段OA1，OA2，OA3，…OAn．猜想与证明：
（1）计算OA2=
（2）根据以上计算，请猜想OAn的长度（用含n的代数式表示），并证明你的猜想．
探究与证明：
（1）利用上面的结论，可得，当OA1=A1A2=A2A3=…AnAn+1=3时，OAn的长度（用含n的代数式表示）为
（2）若OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=a时，请猜想OAn的长度（用含a，n的代数式表示），并证明你的猜想．
考点：勾股定理
专题：规律型
分析：猜想与证明：
（1）运用勾股定理直接计算，即可解决问题．
（2）类比（1）中的结论，可以猜测：OAn=
；首先证明OAn-1=
，进而得到OAn=
=
=
．
探究与证明：
（1）OAn=3
．
（2）猜测：OAn的长度=a
．首先证明：OAn-12=(n-1)a2，运用勾股定理得到OAn2=(n-1)a2+a2
=na2，即可解决问题．
（1）运用勾股定理直接计算，即可解决问题．
（2）类比（1）中的结论，可以猜测：OAn=
| n |
| n-1 |
(
|
| n-1+1 |
| n |
探究与证明：
（1）OAn=3
| n |
（2）猜测：OAn的长度=a
| n |
=na2，即可解决问题．
解答：
解：猜想与证明：
（1）根据勾股定理得：OA2=
=
；OA3=
=
；OA4=
=2；
故答案为：
；
；2．
（2）猜想OAn=
；故答案为
．
证明如下：由题意得，OAn-1=
，
故OAn=
=
=
．
探究与证明：
（1）当OA1=A1A2=A2A3=…AnAn+1=3时，OAn=3
，
故答案为3
．
（2）当OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=a时，请猜想OAn的长度=a
．
证明：∵OAn-12=(n-1)a2，
∴OAn2=(n-1)a2+a2=na2，
∴OAn=a
．
解：猜想与证明：（1）根据勾股定理得：OA2=
| 12+12 |
| 2 |
(
|
| 3 |
(
|
故答案为：
| 2 |
| 3 |
（2）猜想OAn=
| n |
| n |
证明如下：由题意得，OAn-1=
| n-1 |
故OAn=
(
|
| n-1+1 |
| n |
探究与证明：
（1）当OA1=A1A2=A2A3=…AnAn+1=3时，OAn=3
| n |
故答案为3
| n |
（2）当OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=a时，请猜想OAn的长度=a
| n |
证明：∵OAn-12=(n-1)a2，
∴OAn2=(n-1)a2+a2=na2，
∴OAn=a
| n |
点评：该题主要考查了勾股定理及其应用问题；解题的关键是牢固掌握勾股定理的内容，灵活运用勾股定理来解题．
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