Question

【题目】在正方形ABCD中，以CD为底边在正方形外侧作等腰△CDE，连接BE与对角线AC交于点P、与CD交于点H，连接PD．

（1）如图1，当∠DEC＝60°时，求证：PA＝PE；

（2）如图2，当∠DEC＝90°时，

①求tan∠EBC的值；②求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①tan∠EBC＝ ；② .

【解析】

（1）通过计算证明∠ADP＝∠EDP＝75°，证明△ADP≌△EDP即可．

（2）①如图2﹣1中，过点E作EF⊥BC的延长线于F，设CF＝a．想办法求出EF，BF即可解决问题．

②方法一：如图2﹣1中延长DP交BC于点Q，先推证P为BE的中点，得PE＝，利用相似三角形的性质解决问题即可．

方法二：如图2﹣2中，作EG⊥CD于G，设GH＝x，利用相似三角形的性质求解即可．

（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形．

∴AB＝AD，∠BAP＝∠DAP，

∵AP＝AP，

∴△ABP≌△ADP（SAS）

∴∠APD＝∠APB．

∵CB＝CE，

∴∠CBE＝∠CEB．

∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+60°＝150°，

∴∠CBE＝15°．

∵∠ACB＝45°，

∴∠APB＝∠ACB+∠CBE＝60°．

∴∠APD＝60°，

∴ADP＝180°﹣45°﹣60°＝75°，

∵∠ADE＝90°+60°＝150°，

∴∠ADP＝∠EDP＝75°，

∵DA＝DE，DP＝DP，

∴△ADP≌△EDP（SAS），

∴PA＝PE．

（2）①如图2﹣1中，过点E作EF⊥BC的延长线于F，设CF＝a．

∵ED＝EC，∠DEC＝90°，

∴∠DCE＝45°，

∵∠DCF＝∠EFC＝90°，

∴∠ECF＝∠CEF＝45°，

∴EF＝CF＝a，EC＝a，BC＝CD＝2a，

∴BF＝3a，

在Rt△BEF中，tan∠EBC＝．

②方法一：如图2﹣1中延长DP交BC于点Q，先推证P为BE的中点，得PE＝，

由得CH＝，又CH＝CQ，

∴

由△CQP∽△APD得，

∴PA＝，

∴．

方法二：如图2﹣2中，作EG⊥CD于G，设GH＝x，

由GE‖BC得△EGH∽△BCH，得CH＝2GH＝2x，

∴BC＝3CH＝6x

由PC‖DE得△PCH∽△EDH，得，

又DE＝CG＝3x，DE＝3x，

∴PC＝

又AC＝6x，

∴PA＝，PE＝，

则．