Question

如图，平行四边形ABCD中，点M为BC边中点，且AM=9，BD=12，AD=10，AM与BD的交于点E．求证：AM⊥BD．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理的逆定理,平行四边形的性质

专题：证明题

分析：易证△BEM∽△DEA，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得BE和EM的长，然后在△BEM中，利用勾股定理的逆定理即可判断．

解答：证明：∵在?ABCD中，BC=AD=10，且M为BC边中点，
∴BM=

1

2

BC=5．
∵在?ABCD中，BC∥AD，
∴∠MBE=∠ADE，∠EMB=∠EAD，
∴△BEM∽△DEA，
∴

ME

AE

=

BE

DE

=

BM

AD

=

5

10

=

1

2

，
又∵AM=9，BD=12，
∴ME=3，BE=4，
∵在△BME中，ME²+BE²=3²+4²=25，BM²=5²=25，
∴ME²+BE²=BM²，
∴BE⊥ME，即：AM⊥BD．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理，正确利用相似三角形的性质求得BE和EM的长是关键．