Question

11．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D，E分别在AC，BC上，且DE=6，以DE为直径的⊙O 交AB于点M，N，则弦长MN的最大值为（　　）

• A． 2.4
• B． 4.8
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 根据题意有C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，根据勾股定理求得AB，根据三角形面积求得CF，然后根据垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值．

解答 解：过O作OG⊥AB于G，连接OC，连接OM，作CF⊥AB于F，
∵DE=6，
∴OC=3，只有C、O、G三点在一条直线上OG最小，
OM=3，
∴只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值，
∴G和F重合时，MN有最大值，
∵∠C=90°，BC=6，AC=8，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∵$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CF，
∴CF=4.8，
∴OG=4.8-3=$\frac{9}{5}$，
∴MG=$\frac{12}{5}$，
则MN═2MG=4.8，
故选：B．

点评 本题考查了垂线段最短，垂径定理，勾股定理，过O作OE垂于E，得出C、O、E三点在一条直线上OE最小是解题的关键．