Question

已知抛物线y=（9-m²）x²-2（m-3）x+3m的顶点D在双曲线y=-

5

x

上，直线y=kx+c经过点D和点C（a，b），且使y随x的增大而减小，a，b满足方程组

a2-b2-3=0 2a2-5ab+2b2=0

，求这条直线的解析式．（a、b具有两重性，视为点的坐标用函数知识，视为方程的根用方程知识）．

Answer 1

分析：先求出抛物线的顶点坐标，然后代入反比例函数，可求得m的值及顶点坐标，再由顶点坐标与一次函数的关系可得出a和b的值，从而可得出函数解析式．

解答：解：抛物线y=（9-m²）x²-2（m-3）x+3m的顶点D的坐标为(-

1

m+3

，

3m2+10m-3

m+3

)，
由于点D在双曲线y=-

5

x

上，得

3m2+10m-3

m+3

=-

5

- 1 m+3

，
整理，得m²+10m+24=0，解得m₁=-4，m₂=-6，
∴D₁（1，-5），D₂（

1

3

，-15），
又由方程组组

a2-b2-3=0 2a2-5ab+2b2=0

，
解得

a1=2 b1=1

和

a2=-2 b2=-1

，
∴C₁（2，1），C₂（-2，-1），
其中C₁（2，1）不符合题意，舍去．
①C₂（-2，-1）和D₁（1，-5）代入y=kx+b可得：

-1=-2k+b -5=k+b

，解得：

k=- 4 3 b=- 11 3

，
∴直线D₁C₂的解析式为y=-

4

3

x-

11

3

；
②C₂（-2，-1）和D₂（

1

3

，-15）代入可得：

-1=-2k+b -15= 1 3 k+b

，解得：

k=-6 b=-13

，
∴将直线D₂C₂的解析式为y=-6x-13．

点评：本题综合考查一次函数、反比例函数及抛物线的知识，综合性比较强，注意细心研究每种函数的特点．