Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于不同的两点A（x₁，0）和B（x₂，0），与y轴的正半轴交于点C．如果x₁、x₂是方程x²-x-6=0的两个根（x₁＜x₂），且△ABC的面积为

15

2

．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求直线AC和BC的方程；
（3）如果P是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作直线y=m（m为常数），与直线BC交于点Q，则在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知A，B的坐标，易求出三角形ABC的面积以及点C的坐标．易求解析式．
（2）已知A，B，C三点的坐标，易求AC，BC的方程式．
（3）假设存在点R，直线y=m与y轴的交点为点E．证明点P不与点O，C重合，证明△CPQ∽△CAB后解得P，Q的坐标．

解答：解：（1）A（-2，O），B（3，0），
S_△ABC=

15

2

，
∴c=3，C（0，3）．
∴抛物线的解析式是y=-

1

2

x²+

1

2

x+3．

（2）由（1）可知，直线AC的方程为y=

3x

2

+3，直线BC的方程为y=-x+3．

（3）假设存在满足条件的点R，并设直线y=m与y轴的交点为E（0，m），
由（1），知AB=5，OC=3．
点P不与点A、C重合，
∴点E（0，m）不与点O、C重合．
∴0＜m＜3．
由于PQ为等腰直角三角形加PQR的一腰，
过点P作PR₁⊥x轴于点R₁，则∠R1PQ=90°，PQ=PR₁=m．
即（3-m）-

2m-6

3

=m，
解得m=

15

8

．
∴P（x_P，

15

8

），Q（x_Q，

15

8

），
点P在直线AC上，
解得x_P=-

3

4

，P（-

3

4

，

15

8

）．
∴点R₁（-

3

4

，0）．
过点Q作QR₂⊥x轴于R₂，
同理可求得x_Q=

9

8

，Q（

9

8

，

15

8

）．
∴点R₂（

9

8

，0）．验证成立，
当∠PRQ=90°时，PQ=2m，即（3-m）-

2m-6

3

=2m，
解得m=

15

11

，此时R的横坐标为

1

2

[（3-m）+

2m-6

3

]=

3

11

，
∴R₁（-

3

4

，0）、R₂（

9

8

，0）、R₃（

3

11

，0）是满足条件的点．

点评：本题考查的是二次函数的综合运用，要利用大量的辅助线的帮助，难度较大．