已知四边形ABCD是正方形.等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上.FM⊥AD.交射线AD于点M．(1)当点E在边BC上.点M在边AD的延长线上时.如图①.求证:AB+BE=AM,(提示:延长MF.交边BC的延长线于点H．)(2)当点E在边CB的延长线上.点M在边AD上时.如图②,当点E在边BC的延长线上.点M在边AD上时.如图③．请分别写出线段AB.BE.AM之间的数量� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上（不与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M．
（1）当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图①，求证：AB+BE=AM；
（提示：延长MF，交边BC的延长线于点H．）
（2）当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图②；当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，如图③．请分别写出线段AB，BE，AM之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1），（2）的条件下，若BE=$\sqrt{3}$，∠AFM=15°，则AM=3-$\sqrt{3}$或$\sqrt{3}-1$．

分析（1）首先利用等腰直角三角形的性质和正方形的性质得AE=EF，∠ABE=∠EHF=90°，利用全等三角形的判定定理证明△ABE≌△EHF，再利用全等三角形的性质定理可得结论；
（2）同（1）首先证明△ABE≌△EHF，再利用全等三角形的性质定理可得结论；
（3）利用分类讨论的思想，首先由∠AFM=15°，易得∠EFH，由△ABE≌△EHF，根据全等三角形的性质易得∠AEB，利用锐角三角函数易得AB，利用（1）（2）的结论，易得AM．

解答（1）证明：如图①，延长MF，交边BC的延长线于点H，
∵四边形ABCD是正方形，FM⊥AD，
∴∠ABE=90°，∠EHF=90°，四边形ABHM为矩形，
∴AM=BH=BE+EH
∵△AEF为等腰直角三角形，
∴AE=AF，∠AEB+∠FEH=90°，
∵∠EFH+∠FEH=90°，
∴∠AEB=∠EFH，
在△ABE与△EHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠EHF=90°}\\{∠AEB=∠EFH}\\{AE=EF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴AB=EH，
∵AM=BH=BE+EH，
∴AM=BE+AB，即AB+BE=AM；

（2）解：如图②，∵∠AEB+∠FEH=90°，∠AEB+∠EAB=90°，
∴∠FEH=∠EAB，
在△ABE与△EHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠EHF}\\{∠EAB=∠FEH}\\{AE=FE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴AB=EH=EB+AM；
如图③∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠HEF=90°，
∴∠BAE=∠HEF，
在△ABE与△EHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠EHF}\\{∠BAE=∠HEF}\\{AE=FE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴AB=EH，
∴BE=BH+EH=AM+AB；

（3）解：如图①，∵∠AFM=15°，∠AFE=45°，
∴∠EFM=60°，
∴∠EFH=120°，
在△EFH中，
∵∠FHE=90°，∠EFH=120°，
∴此情况不存在；
如图②，∵∠AFM=15°，∠AFE=45°，
∴∠EFH=60°，
∵△ABE≌△EHF，
∴∠EAB=∠EFH=60°，
∵BE=$\sqrt{3}$，
∴AB=BE•tan60°=$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=3，
∵AB=EB+AM，
∴AM=AB-EB=3-$\sqrt{3}$；
如图③，∵∠AFM=15°，∠AFE=45°，
∴∠EFH=45°-15°=30°，
∴∠AEB=30°，
∵BE=$\sqrt{3}$，
∴AB=BE•tan30°=$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}$=1，
∵BE=AM+AB，
AM=BE-AB=$\sqrt{3}-1$，
故答案为：3-$\sqrt{3}$或$\sqrt{3}-1$．