Question

15．如图在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：
①AE=CF；
②S_{四边形AEDF=}$\frac{1}{2}$S_△ABC；
③DE≤$\frac{1}{2}$AB；
④AD与EF可能互相垂直，其中正确结论的个数是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 只要证明△AED≌△CFD可得①②正确，当DE⊥AB时，DE的值最小，DE的最小值=$\frac{1}{2}$AB，推出DE≥$\frac{1}{2}$AB，故③错误，当DE⊥AB时，四边形AEDF是正方形，此时EF与AD互相平分，故④正确，由此即可判断．

解答 解：∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，
∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD，
∵∠MDN=90°，
∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF．
在△AED与△CFD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠C}\\{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF，故①正确，
∴S_{四边形AEDF}=S_△AED+S_△ADF=S_△CFD+S_△ADF=S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△ABC，故②正确，
∵当DE⊥AB时，DE的值最小，DE的最小值=$\frac{1}{2}$AB，
∴DE≥$\frac{1}{2}$AB，故③错误，
∵当DE⊥AB时，四边形AEDF是正方形，此时EF与AD互相平分，故④正确，
∴①②④正确，
故选B．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．