Question

19．如图，在正方形ABCD中，AB=4，E，F分别是边BC，CD边上的动点，且AE=AF，设△AEF的面积为y，EC的长为x．
（1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当x取何值时，△AEF的面积最大，最大面积是多少？
（3）在直角坐标系中画出y关于x的函数的图象．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质可得AB=AD，再利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF，然后求出CE=CF，再根据△AEF的面积等于正方形的面积减去三个直角三角形的面积列式整理即可得解；
（2）结合（1）中二次函数解析式和x的取值范围来求△AEF的面积的最大值；
（3）利用（1）中二次函数解析式画出函数图象，注意x的取值范围．

解答 解：（1）在正方形ABCD中，AB=AD，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∴CE=CF，
∵CE=x，
∴BE=DF=4-x，
∴y=4²-2×$\frac{1}{2}$×4×（4-x）-$\frac{1}{2}$x²，
=-$\frac{1}{2}$x²+4x，
即y=-$\frac{1}{2}$x²+4x．
∵E、F分别是BC、CD边上的动点，且保证A、E、F能构成三角形，
∴x的取值范围是：0≤x≤4；

（2）∵y=-$\frac{1}{2}$x²+4x=-$\frac{1}{2}$（x-4）²+8，0＜x≤4，
∴当x=4时，△AEF的面积最大，最大面积是8；

（3）如图所示，

点评 本题考查了四边形综合题，涉及到了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积以及二次函数最值的求法和二次函数图象，熟记性质并求出三角形全等是解题的关键．