Question

11．如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=30°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 4$\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，由对称的性质可知$\widehat{AN}$=$\widehat{A′N}$，再由圆周角定理可求出∠A′ON的度数，再由勾股定理即可求解．

解答 解：过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，
连接OB，OA′，AA′，
∵AA′关于直线MN对称，
∴$\widehat{AN}$=$\widehat{A′N}$，
∵∠AMN=30°，
∴∠A′ON=60°，∠BON=30°，
∴∠A′OB=90°，
过O作OQ⊥A′B于Q，
在Rt△A′OQ中，OA′=2，
∴A′B=2A′Q=2$\sqrt{2}$，
即PA+PB的最小值2$\sqrt{2}$．
故选B．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，圆周角定理及勾股定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．