Question

2．若m，n是方程x²-2ax+1=0且a≥1的两个实数根，则（m-1）²+（n-1）²的最小值是0．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系求出m+n与mn的值，然后把（m-1）²+（n-1）²整理成m+n与mn的形式，代入进行计算即可求解．

解答 解：由题意，得m+n=2a，mn=1，
则（m-1）²+（n-1）²
=m²+n²-2（m+n）+2
=（m+n）²-2mn-2（m+n）+2
=4a²-4a，
=4（a-$\frac{1}{2}$）²-1，
∵a≥1，
∴a=1时，（m-1）²+（n-1）²的最小值为0．
故答案为0．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了二次函数的最值问题．