Question

4．如图所示，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于点P，延长BC到D，∠ACD的平分线交BP的延长线于点E，求∠BPC和∠E的度数．

Answer 1

分析 根据三角形内角和定理和角平分线的性质得到∠BPC=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=120°，所以∠EPC=60°，再由CE是∠ACD的平分线，可证∠BCP=90°，进而可求出∠E的度数．

解答 解：∵在△ABC中∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°．
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC．
又∵CP是∠ACB的平分线，
∴∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=120°，
∴∠EPC=60°，
∵CE是∠ACD的平分线，
∴∠BCP=$\frac{1}{2}$（∠BCA+∠ACD）=90°，
∴∠E=90°-60°=30°．

点评 本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解题的关键是利用平角为180°以及角平分线的性质求得∠BCP=$\frac{1}{2}$（∠BCA+∠ACD）=90°．