Question

16．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A（1，4），点B（m，-2）
（1）求这两个函数的关系式； 
（2）观察图象，写出不等式$\frac{k}{x}$＞ax+b的解；
（3）如果有一点C与点A关于x轴对称，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）先把A点坐标代入入y=$\frac{k}{x}$求出m得到反比例函数解析式为y=$\frac{4}{x}$，再利用反比例函数解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）根据图象得出取值范围即可；
（3）根据点C与点A关于x轴对称得出点C的坐标，利用三角形面积公式计算即可．

解答 解：（1）∵y=$\frac{k}{x}$函数的图象过点A（1，4），
∴k=4，即y=$\frac{4}{x}$，
又∵点B（m，-2）在y=$\frac{4}{x}$上，
∴m=-2，
∴B（-2，-2），
又∵一次函数y=ax+b过A、B两点，
即$\left\{\begin{array}{l}{-2a+b=-2}\\{a+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴y=2x+2；
（2）根据图象可得：不等式$\frac{k}{x}$＞ax+b的解为：0＜x＜1或x＜-2；
（3）∵点C与点A关于x轴对称，
∴C点坐标为（1，-4），
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$×（1+2）×（4+4）=12．

点评 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求一次函数解析式．