题目内容
如图，甲、乙两人分别从A(1，
)、B(6，0)两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶，th后，甲到达M点，乙到达N点．
(1)请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行．
(2)当t为何值时，△OMN∽△OBA？
(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长，设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．
考点：
相似三角形的性质；坐标与图形性质；二次函数的最值；勾股定理；解直角三角形。
分析：
(1)用反证法说明．根据已知条件分别表示相关线段的长度，根据三角形相似得比例式说明；
(2)根据两个点到达O点的时间不同分段讨论解答；
(3)在不同的时间段运用相似三角形的判定和性质分别求解析式，运用函数性质解答问题．
解答：
解：(1)因为A坐标为(1，
)，
所以OA＝2，∠AOB＝60°．
因为OM＝2－4t，ON＝6－4t，
当
＝
时，解得t＝0，
即在甲、乙两人到达O点前，只有当t＝0时，△OMN∽△OAB，所以MN与AB不可能平行；
(2)因为甲达到O点时间为t＝
，乙达到O点的时间为t＝
＝
，所以甲先到达O点，所以t＝或t＝时，O、M、N三点不能连接成三角形，
①当t＜
时，如果△OMN∽△OAB，则有
＝
，解得t＝2＞，所以，△OMN不可能相似△OBA；
②当＜t＜
时，∠MON＞∠AOB，显然△OMN不相似△OBA；
③当t＞时，
＝
，解得t＝2＞
，所以当t＝2时，△OMN∽△OBA；
(3)①当t≤
时，如图1，过点M作MH⊥x轴，垂足为H，
在Rt△MOH中，因为∠AOB＝60°，
所以MH＝OMsin60°＝(2－4t)×
＝
(1－2t)，
OH＝0Mcos60°＝(2－4t)×＝1－2t，
所以NH＝(6－4t)－(1－2t)＝5－2t，
所以s＝[(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28
②当＜t≤时，如图2，作MH⊥x轴，垂足为H，
在Rt△MNH中，MH＝(4t－2)＝
(2t－1)，NH＝
(4t－2)＋(6－4t)＝5－2t，
所以s＝[(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28
当t＞
时，同理可得s＝[(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28，
综上所述，s＝[(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28．
因为s＝16t2－32t＋28＝16(t－1)2＋12，
所以当t＝1时，s有最小值为12，所以甲、乙两人距离最小值为2km．
点评：
此题综合考查了坐标与图形、相似三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的应用等知识点，难度较大．
如图，甲、乙两人分别从正方形ABCD的顶点C，B两点同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动．若一人达到目的地，另一人随之停止，甲的速度为1千米/分，乙的速度为2千米/分．正方形的周长为40千米，问几分钟后，两人相距2
沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶，th后，甲到达M点，乙到达N点．
如图，甲、乙两人分别从长正方形广场ABCD的顶点B、C同时出发，甲由C点向D点运动，乙由B点向C点运动，甲的速度1米/秒；乙的速度为2米/秒．若正方形的周长为400米，问几秒后，两人第一次相距20
