Question

20．已知一次函数y=ax²+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（-1，0），下列结论：①abc＜0；②b²-4ac=0；③a＞2；④4a-2b+c＞0．其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由抛物线开口方向得到a＞0，由抛物线的对称轴方程得到b=2a＞0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴交点个数对②进行判断；把（-1，0）代入y=ax²+bx+c+2得a-b+c=0，加上b=2a，c＞2，则可对③进行判断；利用x=-2时，y＞0可对④进行判断．

解答 解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=-1，
∴b=2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以①错误；
∵抛物线与x轴只有1个交点，
∴△=b²-4ac=0，所以②正确；
把（-1，0）代入y=ax²+bx+c+2得a-b+c=0，
∴c=b-a，
而b=2a，c＞2，
∴a＞2，所以③正确；
∵x=-2时，y＞0，
即4a-2b+c＞0，所以④正确．
故选C．

点评 本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．