Question

在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M.

（1）判断四边形AEMF的形状，并给予证明；
（2）若BD=2，CD=3，试求四边形AEMF的面积．

Answer 1

解：（1）∵AD⊥BC△AEB是由△ADB折叠所得，
∴∠1=∠3，∠E=∠ADB=90°，BE=BD，AE=AD
又∵△AFC是由△ADC折叠所得
∴∠2=∠4，∠F=∠ADC=90°，FC=CD，AF=AD
∴AE=AF
又∵∠1+∠2=45°，∴∠3+∠4=45°，∴∠EAF=90°，
∴四边形AEMF是正方形．
（2）根据题意知：BE=BD，CF=CD
设正方形AEMF的边长是x，∴BM=x﹣2；  
CM=x﹣3
在Rt△BMC中，由勾股定理得：BC²=CM²+BM²，
即（2+3）²=（x﹣3）²+（x﹣2）²，
解得x=6或x=﹣1（舍去），
∴EM=6，
∴S_{正方形AEMF}=EM²=6²=36．
故答案为：正方形，36．