Question

关于x的一元二次方程kx²+（2k+1）x+k=0有两个不相等的实数根为x₁，x₂．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根满足：=0？若存在，请求出实数k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）根据题意得k≠0且△=（2k+1）²-4k•k＞0，
解得k＞-且k≠0；

（2）不存在．理由如下：
根据题意得x₁+x₂=-，x₁•x₂=1，
∵=0，
∴=0，
∴x₁+x₂=-=0，
解得k=-，
∵k＞-且k≠0，
∴不存在k的值满足=0．
分析：（1）根据判别式的意义得到k≠0且△=（2k+1）²-4k•k＞0，然后求出两不等式的公共部分即可；
（2）先根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-，x₁•x₂=1，再利用=0得到x₁+x₂=-=0，解得k=-，由于k的值不在（1）中的k的取值范围，所以可判断不存在k的值．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了一元二次方程根的判别式．