Question

【题目】如图①，在半径为6的扇形AOB中，，点C是弧AB上的一个动点（不与点、重合），、，垂足分别为D、E．

（1）①当时，线段 ；

②当的度数= °时，四边形成为菱形；

（2）试说明：四边形的四个顶点在同一个圆上；

（3）如图②，过点作，垂足为，连接，随着点的运动，在△中是否存在保持不变的角？如果存在，请指出这个角并求出它的度数；如果不存在，请说明理由；

（4）在（3）条件下，若点从点运动到点，则点的运动路径长为 ．

Answer 1

【答案】（1）①；②60；（2）证明见详解；（3）存在，；（4）3

【解析】

（1）①根据勾股定理即可求得线段；②点C为中点，即=60°时，得△OBC，△OAC为等边三角形，可得四边形成为菱形；

（2）取中点，连接，，根据直角三角形斜边上的直线等于斜边的一半，证得，问题得证；

（3）先求得∠EOD=60°，根据（2）的结论，进行角的转化，证明∠EOF=∠AOD，进而求得；

（4）根据不变，确定的运动轨迹是一条线段，当点C与A、B重合时，OF最小，当C位于的中点时，OF最长，分别求出OF长，计算可得．

解：（1）①∵OB=OC, ，

∴BE=，

∴在Rt△OBE中，OE=；

故答案为：；

②当∠BOC=60°时，∠AOC=60°，△OBC，△OAC为等边三角形，

∴OA=AC=OC=BC=OB，

∴四边形成为菱形；

故答案为：60；

（2）取中点，连接，

∵，∴，

∴

∴以为圆心，为半径的圆过三点

即四边形的四个顶点在同一个圆上

（3）答：不变，；

证明：∵OB=OC=OA, 、，

∴∠COE=∠BOE=,∠COD=∠AOD=，

∴∠EOD=∠COE+∠COD=，

∵四边形的四个顶点在同一个圆上，

∴，

∴∠OED=∠OCD，

∵OF⊥DE，OD⊥OC，

∴∠OEF+∠EOF=90°， ∠OCD+∠COD=90°，

∴∠EOF=∠COD，

∵∠COD=∠AOD，

∴∠EOF=∠AOD，

∴；

（4）由（3）得，，∴点F的运动轨迹在∠AOB的平分线上，

如图1，当点C与A重合时，F与E重合，∠OAB=30°，OF⊥AB，

∴OF=；

如图2，当点C运动到中点时，∠AOD=∠DOC=30°，

OD=OA·cos∠AOD=，

OF= OD·cos∠FOD=；

∴；

当点C从点B运动到中点时，也运动了，

∴在（3）条件下，若点从点运动到点，则点的运动路径长为3．