Question

如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2.90m的顶灯．已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1m．矩形面与地面所成的角α为78°．李师傅的身高为l.78m，当他攀升到头顶距天花板0.05～0.20m时，安装起来比较方便．
（1）求每条踏板间的垂直高度．
（2）请问他站立在梯子的第几级踏板上安装比较方便？，请你通过计算判断说明．
（参考数据：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70）

Answer 1

考点：解直角三角形的应用

专题：

分析：（1）过点A作AE⊥BC于点E，先根据等腰三角形三线合一的性质得出CE=

1

2

AC=0.5，然后在Rt△AEC中根据正切函数的定义求出AE=EC•tan78°≈2.35，则
每条踏板间的垂直高度为：2.35÷7=

47

140

m；
（2）设他站立在梯子的第n级踏板上安装比较方便，此时他的头顶距天花板hm，先用含n的代数式表示h，于是h=2.9-1.78-

47

140

n=1.12-

47

140

n，再根据0.05≤h≤0.2，得到0.05≤1.12-

47

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n≤0.2，解不等式组求出2.74≤n≤3.19，进而得到整数n的值．

解答：解：（1）如图，过点A作AE⊥BC于点E．
∵AB=AC，AE⊥BC于点E，
∴CE=

1

2

AC=0.5．
在Rt△AEC中，∵tan78°=

AE

EC

，
∴AE=EC•tan78°≈0.5×4.70=2.35，
∴每条踏板间的垂直高度为：2.35÷7=

47

140

（m）；

（2）设他站立在梯子的第n级踏板上安装比较方便，此时他的头顶距天花板hm．
由题意，得h=2.9-1.78-

47

140

n=1.12-

47

140

n，
∵0.05≤h≤0.2，
∴0.05≤1.12-

47

140

n≤0.2，
解得2.74≤n≤3.19，
∵n为整数，
∴n=3．
答：他站立在梯子的第3级踏板上安装比较方便．

点评：本题考查了解直角三角形的应用．要求学生应用数学知识解决问题，在正确分析题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．