Question

如图，一次函数y=k₁x+b的图象经过A（0，-2），B（1，0）两点，与反比例函数y=

k2

x

的图象在第一象限内的交点为M（m，4）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：计算题

分析：（1）先利用待定系数法求一次函数解析式，再利用一次函数解析式确定M点的坐标，然后利用待定系数法求反比例函数解析式；
（2）先利用两点间的距离公式计算出AB=

5

，BM=2

5

，再证明Rt△OBA∽Rt△MBP，利用相似比计算出PB=10，则OP=11，于是可得到P点坐标．

解答：解：（1）把A（0，-2），B（1，0）代入y=k₁x+b得

b=-2 k1+b=0

，
解得

k1=2 b=-2

，
所以一次函数解析式为y=2x-2；
把M（m，4）代入y=2x-2得2m-2=4，
解得m=3，
则M点坐标为（3，4），
把M（3，4）代入y=

k2

x

得k₂=3×4=12，
所以反比例函数解析式为y=

12

x

；
（2）存在．
∵A（0，-2），B（1，0），M（3，4），
∴AB=

5

，BM=

22+42

=2

5

，
∵PM⊥AM，
∴∠BMP=90°，
∵∠OBA=∠MBP，
∴Rt△OBA∽Rt△MBP，
∴

AB

PB

=

OB

BM

，即

5

PB

=

1

2 5

，
∴PB=10，
∴OP=11，
∴P点坐标为（11，0）．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式、三角形相似的判定与性质．