Question

12．如图，A（a，0）、B（0，b），且$\sqrt{a-b}$+|b+4|=0．
（1）求A、B点的坐标；
（2）若P为x轴正半轴上一动点，C为B点关于x轴的对称点，PD⊥PC交直线AB于点D，求证：PD=PC；
（3）若点Q为B点下方的一动点，M为AB的延长线上一点，且AQ=MQ，过M点作MN⊥y轴于N，问：当Q点运动时，QN的长度是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据非负数的性质：两个非负数的和为零，这个数只能是零．由此即可解决问题．
（2）想办法证明∠PDB=∠PBD即可．由∠CAD+∠DPC=180°，推出∠ADP+∠ACP=180°，由∠ADP+∠2=180°，推出∠2=∠ACP=∠1+∠ACO=∠1+45°，由∠PBD=∠PBC+∠ABO=∠1+45°，即可推出∠PDB=∠PBD
（3）如图3中，结论：QN的长度不变，QN=4．只要证明△QAO≌△MQN，即可推出NQ=OA=4．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a-b}$+|b+4|=0，
又∵$\sqrt{a-b}$≥0，|b+4|≥0，
∴a=b=-4，
∴A（-4，0），B（0，-4）．

（2）如图1中，

∵A（-4，0），B（0，4），
∴OA=OB=4，
∵B、C关于x轴对称，
∴OC=OB=OA=4，PC=PB，
∴∠CAB=90°，∠1=∠PBC，∠ACB=∠ABC=45°，
∵∠CPD=90°，
∴∠CAD+∠DPC=180°，
∴∠ADP+∠ACP=180°，
∵∠ADP+∠2=180°，
∴∠2=∠ACP=∠1+∠ACO=∠1+45°，
∵∠PBD=∠PBC+∠ABO=∠1+45°，
∴∠2=∠PBD，
∴PD=PB．

（3）如图3中，结论：QN的长度不变，QN=4．理由如下：

∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=∠4=45°，
∴∠QAO=∠1+45°，∠3=∠4+∠2=45°+∠2，
∵QA=QM，
∴∠1=∠2，
∴∠QAO=∠3，
在△QAO和△MQN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QAO=∠3}\\{∠AOQ=∠MNQ}\\{AQ=QM}\end{array}\right.$，
∴△QAO≌△MQN，
∴NQ=OA=4，
∴NQ为定值4．

点评 本题考查几何变换、等腰直角三角形的判断和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确寻找全等三角形是本题的突破口，属于中考压轴题．