Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，AC=BC，弦CD与AB交于E，AB=CD，过A作AF⊥BC于F.

（1）判断AC与BD的位置关系，并说明理由；

（2）求证：AC=2CF+BD；

（3）若S△CFA=S△CBD，求tan∠BDC的值.

Answer 1

【答案】（1）AC∥BD，见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）连接BD和AD，根据圆心角、弦和圆心角的关系，即可判断.

（2）在BC上找一点M，使得BM=BD，根据圆周角定理判断出AD和AC的关系，然后根据三角形全等判断AD和AM的关系，从而得出AM=AC，再根据三线合一，判断出CF=FM，从而得出结论.

（3）分别过点B和点C 向AC和DB作垂线，根据平行线间的距离相等，得出BN=CG，再根据两三角形面积相等，即可判断出BD和CF的关系，再结合第（2）问，可以得出F点是BC的三等分点，然后设出CF的边长为m，用m将AF和BF表示出来，根据圆周角定理及其推论得出∠CDB=∠ABF，然后代入即可计算.

解：（1）AC∥BD.

连接AD，BD，

∵AB=CD,

∴∠CAD=∠CBD,

又∵∠DAB=∠BCD，

∴∠CAB=∠ACD，

∵∠CAB=∠CDB

∴∠ACD=∠CDB

∴AC∥BD.

（2）在BC上找一点M，使BM=BD，

连接AM，AD

∵AC∥BD，

∴∠ACD=∠CDB，

∴AD=BC，

又∵AC=BC，

∴AD=AC，

∴∠ABD=∠ABM，

∵BA=BA

∴△AMB≌ADB，

∴AM=AD，

∴AM=AC

又∵AF⊥BC，

∴CF=FM

∵BC=CF+FM+MB=2CF+MB=2CF+BD

∵AC=BC，

∴AC=2CF+BD.

过B点向AC做垂线，垂足为N，

连接DB并延长DB，过C点向DB作垂线，与DB延长线交于点G，由图可知CG即为

△CBD的高.

∵AC=BC，

∴BD=AF，

∵AC∥DB，

∴BN=CG，

∴BN=CG，

AF=CG，

又∵S△CFA=S△CBD，

∴BD=CF，

∵BC=2CF+BD.

∴BC=3CF，

设CF为m，则AC=3m，BF=BC-CF=2m，

∵AC=BC,

∴∠BDC=∠ABF