题目内容
20．
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=10cm，AB=CD=15cm，sinB=$\frac{4}{5}$，点P，Q分别从点B，C同时出发，点P在BC边上沿BC方向以2cm/s的速度运动，点Q沿C→D→A→B方向以3cm/s的速度匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为xs．（1）求BC的长；
（2）①求x的取值范围；
②是否存在四边形APCQ为平行四边形？若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由；
（3）设△CPQ的面积为y（cm2），求y与x的函数解析式，并探究x为何值时，△CPQ的面积取得最大值？并求出此最大值．
分析 （1）作AE⊥BC，再根据三角函数和等腰梯形的性质解答即可；
（2）①根据等腰梯形的性质得出CD=AB=15，AD=10，利用点Q沿C→D→A→B方向以3cm/s的速度匀速运动进而得出x的取值范围即可；
②根据平行四边形的性质进行解答即可；
（3）根据分$0≤x≤5，5＜x＜\frac{25}{3}，\frac{25}{3}≤x≤\frac{40}{3}$三种情况得出解析式解答即可．
解答 解：（1）作AE⊥BC，如图：
∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=10cm，AB=CD=15cm，sinB=$\frac{4}{5}$，
∴BE=$15×\frac{3}{5}=9$，
∴BC=10+9+9=28cm；
（2）①∵BC=28cm，点P在BC边上沿BC方向以2cm/s的速度运动，
∴所需时间为14s；
∵点Q沿C→D→A→B方向以3cm/s的速度匀速运动，CD+DA+AB=15+10+15=40cm，
∴所需时间为$\frac{40}{3}$s，
可得：x的取值范围为：$0≤x≤\frac{40}{3}$；
②不存在四边形APCQ为平行四边形，
理由如下：
当点Q在AD上，且AQ=PC时，四边形APCQ为平行四边形，
∵AD=10cm，CD=15cm，点Q的运动路程为3xcm，
∴AQ=AD+CD-3x=（25-3x）cm，
∵BC=28cm，BP=2xcm，
∴25-3x=28-2x，
解得：x=-3，
∵$0≤x≤\frac{40}{3}$，
∴不存在四边形APCQ为平行四边形；
（3）当点Q在CD上运动时，如图2：
即0≤x≤5时，y=-2.4（x-7）2+117.6；
当点Q在AD上运动时，如图3：
即$5＜x＜\frac{25}{3}$时，y=-12x+168；
当点Q在AB上运动时，如图4：
即$\frac{25}{3}≤x≤\frac{40}{3}$时，y=0.8（3x2-82x+560），
当x=5cm时，y=108cm2．
点评 本题考查了梯形性质，平行四边形和等腰梯形的性质的应用，注意：平行四边形的对边相等，等腰梯形的两腰相等，同时注意数形结合表示出△CPQ的面积是解题关键．
如图，△ABC中，∠C=75°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=255°．
如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF=30m，则AB=60m．
如图，已知点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆O于E，求证：
（1）填写表中：
| 图形编号 | ① | ② | ③ | ④ | ⑤ | ⑥ |
| 火柴棒的根数 | 4 | 7 | 10 | 13 | 16 | 19 |
（3）分别求出第15，21，55个图形时，需要多少根火柴棒？
如图，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°．曲线CDEF…叫做“等腰直角三角形的渐开线”，其中弧CD，弧DE，弧EF，…的圆心依次按A、B、C循环．如果AC=1，那么曲线CDEF的长度为（ ）| A． | $\frac{12+7\sqrt{2}}{4}π$ | B． | $\frac{7+4\sqrt{2}}{4}π$ | C． | $\frac{5+3\sqrt{2}}{4}π$ | D． | $\frac{10+5\sqrt{2}}{4}$π |