Question

5．如图，已知点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆O于E，求证：
（1）IE=EC；
（2）IE²=ED•EA．

Answer 1

分析 （1）由内心的性质可知；∠ACI=∠BCI，∠BAE=∠CAE，由圆周角定理可知∠BCE=∠BAE，从而得到∠CAE+∠ACI=∠ICB+∠BCE，从而得到∠EIC=∠ICE，于是得到IE=EC；
（2）先证明DCE∽△CAE，从而可得到CE²=DE•EA，由IE=EC从而得到IE²=DE•EA．

解答 解：（1）如图所示；连接IC．

∵点I是△ABC的内心，
∴∠ACI=∠BCI，∠BAE=∠CAE．
又∵∠BAE=∠BCE，
∴∠CAE=∠BCE．
∴∠CAE+∠ACI=∠ICB+∠BCE．
∴∠EIC=∠ICE．
∴IE=EC．
（2）由（1）可知：∠CAE=∠BCE．
又∵∠AEC=∠DEC，
∴△DCE∽△CAE．
∴$\frac{CE}{AE}=\frac{DE}{CE}$．
∴CE²=DE•EA．
∵IE=EC，
∴IE²=DE•EA．

点评 本题主要考查的是三角形的内切圆、相似三角形的性质和判定、圆周角定理，明确三角形的内心是三角形内角平分线的交点是解题的关键．