题目内容
已知四边形ABCD中，BC=DC，对角线AC平分∠BAD．（1）作CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别为垂足．求证：△BCE≌△DCF．
（2）如果AB=21，AD=9．BC=DC=10，求对角线AC的长．
分析：（1）由角平分线上的点到角的两边的距离相等，易证明△BCE≌△DCF．
（2）需要作一条辅助线，可在AB上取一点G使AG=AD，则有△ADC≌△AGC，易证△CGB为等腰三角形，过C作CH⊥GB，在Rt△ACH中可求得AC的长．
（2）需要作一条辅助线，可在AB上取一点G使AG=AD，则有△ADC≌△AGC，易证△CGB为等腰三角形，过C作CH⊥GB，在Rt△ACH中可求得AC的长．
解答：
（1）证明：∵AC平分∠BAD，且CE⊥AB，CF⊥AD；
∴CF=CE；
又∵CD=BC；
∴Rt△BCE≌Rt△DCF．
（2）解：取AG=AD，作CH⊥AB，垂足为H，
得△ADC≌△AGC，
∴AG=AD=9，CG=CD=10；
∴CG=CB；
∴△CGB为等腰三角形．
∵GB=AB-AG=21-9=12，GH=HB=6；
∴CH2=100-36=64，
∴CH=8；
∴AH=AG+GH=9+
GB=9+6=15；
Rt△ACH中，AC2=AH2+CH2=152+82=172
∴AC=17．
（1）证明：∵AC平分∠BAD，且CE⊥AB，CF⊥AD；∴CF=CE；
又∵CD=BC；
∴Rt△BCE≌Rt△DCF．
（2）解：取AG=AD，作CH⊥AB，垂足为H，
得△ADC≌△AGC，
∴AG=AD=9，CG=CD=10；
∴CG=CB；
∴△CGB为等腰三角形．
∵GB=AB-AG=21-9=12，GH=HB=6；
∴CH2=100-36=64，
∴CH=8；
∴AH=AG+GH=9+
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Rt△ACH中，AC2=AH2+CH2=152+82=172
∴AC=17．
点评：此题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等及三角形全等的证明，辅助线、勾股定理的利用等知识点，推理较为复杂．
练习册系列答案
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