Question

（1）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，点E在AB上，DE交AC于点F，ED=EB，求证：AE=EF；
（2）如图2，AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠B，求证：BD=CE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据等边对等角，可得∠B与∠D的关系，根据直角三角形两锐角互余，可得∠B与∠A的关系，∠D与∠DFC的关系，根据根据等角的余角相等，可得∠A与∠AFE的关系，根据等角对等边，可得AE=EF；
（2）根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得△ABC与△ADE是等腰三角形，根据等腰三角形顶角相等，可得∠BAC与∠DAE的关系，根据等式的性质，可得∠BAD与∠CAE的关系，根据“SAS”可得△ABD与△ACE的关系，△三角形的性质，可得对应边相等．

解答：证明：（1）∵ED=EB，
∴∠B=∠D（等边对等角）．
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°，∠D+∠DFC=90°（直角三角形两锐角互余）．
∵∠AFE=∠DFC（对顶角相等），
∴∠D+∠AFE=90°（等角的余角相等）．
∴∠AFE=∠A（等角的余角相等），
∴AE=EF  （等角对等边）；
（2）∵AB=AC．AD=AE，
∴△ABC与△ADE都是等腰三角形，
∵∠ADE=∠B，
∴∠BAC=180°-2∠B=180°-2∠ADE=∠DAE．（等式的性质）
∠BAC+CAD=∠DAE+CAD（等式的性质）
∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）．

点评：本题考查了全等三角形的性质与判定，（1）先是运用等边对等角，再运用直角三角形两锐角互余，等角的余角相等，最后是等角对等边；（2）等腰三角形的底角相等，顶角相等，运用等式的性质得出∠BAD=∠CAE，“SAS“证明两三角形全等，全等三角形的对应边相等．