Question

10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
（1）写出图中一对全等角形和一对相似比不为1的相似三角形；
（2）选择（1）中一对加以证明；
（3）求AD：AC的值．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性质和三角形的内角和可求出图中所有角的度数，从而可得到△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD；
（2）利用有两组角对应相等的两个三角形相似可证明△ABC∽△BCD；
（3）先证明AD=BD=BC，再利用△ABC∽△BCD得到$\frac{AC}{BC}$=$\frac{BC}{CD}$，则AC•（AC-AD）=AD²，然后解关于AC的一元二次方程即可得到AD：AC的值．

解答 解：（1）△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD；
（2）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=$\frac{1}{2}$（180°-36°）=72°，
∵BD为角平分线，
∴∠CBD=∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=36°，
∴∠CBD=∠A，
而∠BCD=∠ACB，
∴△ABC∽△BCD；
（3）∵∠A=∠ABD=36°，
∴AD=BD，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
∴AD=BD=BC，
∵△ABC∽△BCD，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{BC}{CD}$，
即AC•（AC-AD）=AD²，
整理得AD²+AC•AD-AC²=0，
解得AD=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$AC或AD=$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$AC（舍去），
∴AD：AC的值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质和等腰三角形的性质．