Question

1．已知：二次函数y=$\frac{1}{2}$x²+kx+k-$\frac{1}{2}$
（1）求证：不论k为何实数，二次函数的图象与x轴总有交点，
（2）设k＜0，当二次函数y=$\frac{1}{2}$x²+kx+k-$\frac{1}{2}$的图象与x轴的两个交点A，B间距离为4时，求出此二次函数的表达式．

Answer 1

分析 （1）根据判别式b²-4ac≥0时，二次函数的图象与x轴总有交点进行证明即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的根据表示出图象与x轴的两个交点A，B间距离，根据已知条件列出算式，求出k的值，得到此二次函数的表达式．

解答 解：（1）$\frac{1}{2}$x²+kx+k-$\frac{1}{2}$=0，
b²-4ac=k²-4×$\frac{1}{2}$×（k-$\frac{1}{2}$）=k²-2k+1=（k-1）²≥0，
∴不论k为何实数，二次函数的图象与x轴总有交点；
（2）设方程$\frac{1}{2}$x²+kx+k-$\frac{1}{2}$=0的两根为x₁、x₂，
x₁+x₂=-2k，x₁•x₂=2k-1，
|x₁-x₂|=${\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}x}}_{2}$=$\sqrt{4{k}^{2}-4k+4}$=4，
解得k₁=3，k₂=-1，
∵k＜0，∴k=-1，
此二次函数的表达式为：y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查的是抛物线与x轴的交点的判断，理解二次函数和一元二次方程的关系是解题的关键，解答时，注意完全平方公式的运用．