Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB=45°，∠ABC=120°，⊙O的半径为1，
（1）求弦AC、AB的长；
（2）若P为CB的延长线上一点，试确定P点的位置，使PA与⊙O相切，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）要求AC，可在△AOC中求解，求AB，可在△AOB中求解．?
（2）要确定P的位置，只需求PB，可在△APB中求解，过P作PF⊥AB，则将斜三角形分解为直角三角形

解答：解：（1）过O作OE⊥AC于E，连接OC，?
∵∠ABC=120°，则∠AOC=120°．?
又∵OA=OC，?
∴∠OAD=∠OCD=30°．?
在Rt△AOD中，cos∠OAD=

AD

OA

，
又∵OA=1，?
∴AE=OA•cos30°=

3

2

．∴AC=2AE=

3

．?
在△AOB中，OA=OB=1，∠AOB=2∠ACB=90°，∴AB=

2

．?

（2）过P作PF⊥AB于F，设BF=a，?
∵∠ABP=180°-∠ABC=60°，?
∴∠BPF=30°．∴BP=2BF=2a．?
在Rt△BPF中，PF=

BP2-BE2

=

3

a．?
∵PA切⊙O于A，∴∠OAP=90°．?
∵∠OAB=45°，∴∠PAF=45°．?
在Rt△PAF中，AE=PF=

3

a，?
又∵AF+FB=AB=

2

，?
∴a+

3

a=

2

，
解a=

6 - 2

2

．?
∴PB=2a=

6

-

2

．

点评：本题考查了切线的判定和性质，从三角形中着手而解得，第二步可以可在△APB中求解，过P作PE⊥AB，则将斜三角形分解为直角三角形从而证得．