Question

8．如图，OA=3，OB=6，以A点为直角顶点的等腰三角形△ABC在第四象限．
（1）求点C的坐标；
（2）在第四象限是否存在一点P，使△APB和△ABC全等？若存在，求出P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）作CE⊥x轴于点E，证△OBA≌△EAC，推出CE=OA=3，AE=OB=6，即可求出C的坐标；
（2）过P作PQ⊥y轴于Q，证出△PQB≌△BOA，推出BQ=OA=3，PQ=OB=6，求出OQ=9，即可得出P的坐标．

解答 解：（1）过C作CE⊥x轴于E，如图1所示：
则∠AEC=90°=∠AOB，
∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠EAC=90°，∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠OBA=∠EAC，
在△OBA和△EAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBA=∠EAC}\\{∠AOB=∠AEC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△OBA≌△EAC（AAS），
∴CE=OA=3，AE=OB=6，
∴OE=3+6=9，
∴C（9，-3）；
（2）在第四象限内存在一点P，使△PAB≌△CAB，
理由是：过P作PQ⊥y轴于Q，如图2所示：
∵∠ABP=90°，
∴∠ABO+∠PBQ=90°，
又∵直角△ABO中，∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠PBQ=∠OAB，
∴在△AOB和△BQP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BQP}\\{∠PBQ=∠OAB}\\{AB=PB}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BQP．
∴BQ=OA=3，PQ=OB=6，OQ=6+3=9，
∴P的坐标是（6，-9），
∴在第四象限内存在一点P，使△PAB≌△CAB，P的坐标是（6，-9）或（9，-3）．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，题目综合性比较强，有一定的难度．