Question

14．已知正方形ABCD的边长为6，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC边运动，点Q从C点同时出发，以相同的速度在BC的延长线上运动，当点P运动到点C时，点Q也停止运动，连接AP，过P点作AP的垂线，与过点Q垂直于BC的直线m相交于点E，连接AE交CD于点F设点P的运动时间为t秒（t＞0）
（1）∠PAE的度数为45°，EQ=t（用t表示）；
（2）△PCF的周长会随着t的变化而变化吗？若变化说明理由，若不变求出定值；
（3）当△PAF为等腰三角形时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）先判断出AB=PQ，用同角的余角相等得出∠BAP=∠QPE，进而得出△ABP≌△PQE，即可判断出三角形APE是等腰直角三角形即可；
（2）先判断出△ABG≌△ADF，进而得出△PAG≌△PAF，得出PG=PF，最后用等量代换即可得出结论；
（3）分三种情况，用三角形全等和由运动的特点即可判断出结论．

解答 解：（1）由运动知，BP=CQ，
∴PQ=PC+CQ=PC+BP=BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∴AB=PQ，
∵EQ⊥BC，
∴∠PQE=∠ABC=90°，
∴∠APB+∠BAP=90°，
∵AP⊥PE，
∴∠APB+∠EPQ=90°，
∴∠BAP=∠QPE，
在△ABP和△PQE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠QPE}\\{AB=PQ}\\{∠ABP=∠PQE=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△PQE，
∴PA=PE，BP=EQ=t，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴∠PAE=45°，
故答案为：45°，t；
（2））△PCF的周长不会随着t的变化而变化；
理由：如图2，延长PB至G，使BG=DF，
在△ABG和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABG=∠ADF=90°}\\{BG=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADF，
∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，
由（1）知，∠PAF=45°，
∴∠DAF+∠BAP=45°，
∴∠BAG+∠BAP=45°，∠PAG=45°=∠PAF
在△PAG和△PAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{∠PAG=∠PAF}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△PAG≌△PAF，
∴PG=PF，
∴△PCF的周长=PF+PC+CF=PG+PC+CF=BP+BG+PC+CF=BP+PC+CF+DF=BC+CD=2BC=12．
（3）当AP=AF时，
在Rt△ABP和Rt△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AP=AF}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABP≌Rt△ADF，
∴∠BAP=∠DAF，
∵∠BAP+∠DAF=45°，
∴∠BAP=22.5°，
∵∠BAC=45°，
∴∠CAP=22.5°=∠BAP，
∴AP是∠BAC的平分线，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BP}{PC}$，
∵AC=$\sqrt{2}$AB，BP=t，PC=BC-BP=6-t，
∴$\frac{AB}{\sqrt{2}AB}=\frac{t}{6-t}$，
∴t=6（$\sqrt{2}$-1），
当PA=PF时，由（1）知，PA=PE，
∴点F，E重合，
即：点E，F，C重合，点P和B重合，
此时，t=0，
当FA=FP时，∠FPA=∠FAP=45°，
∴∠AFP=90°，
∴点F和点D重合，
此时，点P和点C重合，
∴BP=BC=6，
∴t=6÷1=6．
即：当△PAF为等腰三角形时，t的值为0或6（$\sqrt{2}$-1）或6．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定理，解本题的关键是判断出∠PAF=45°，是一道中等难度的中考常考题．