Question

3．例：解方程x⁴-7x²+12=0
解：设x²=y，则x⁴=y²，
∴原方程可化为：y²+7y+12=0，解得y₁=3，y₂=4
当y=3时，x²=3，x=±$\sqrt{3}$，当y=4时，x²=4，x=±2．
∴原方程有四个根是：x₁=$\sqrt{3}$，x₂=-$\sqrt{3}$，x₁=2，x₂=-2．
以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．
（1）解方程：（x²+x-2）（x²+x-3）=2；
（2）已知a、b、c是Rt△ABC的三边（c为斜边），S_△ABC=6，且a、b满足（a²+b²）-21（a²+b²）-100=0，试求Rt△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）类比题目设y=x²+x-2，转化为求y²-y-2=0的解可得y的值，即可得x²+x-2的值，再进一步解关于x的方程即可得；
（2）利用换元法y=a²+b²，可得y²-21y-100=0，解之可得a²+b²的值，再根据勾股定理知c的值，结合三角形的面积得ab=12，最后a²+b²=25，即（a+b）²-2ab=25可得a+b，继而知答案．

解答 解：（1）设y=x²+x-2，则y²-y-2=0，解得y₁=-1，y₂=2，
当x²+x-2=-1 即x²+x-1=0时，解得：x=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$；
当x²+x-2=2 即x²+x-4=0时，解得：x=$\frac{-1±\sqrt{17}}{2}$；
综上所述，原方程的解为x_1，2=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，x_3，4=$\frac{-1±\sqrt{17}}{2}$；

（2）设y=a²+b²，则y²-21y-100=0，
整理，得：（y-25）（y+4）=0，
解得y₁=5，y₂=-4（舍去），
故a²+b²=25．
∴c=5，
又∵S_△ABC=6，
∴$\frac{1}{2}$ab=6，
∴ab=12，
又a²+b²=25，即（a+b）²-2ab=25，
∴（a+b）²=49，
∴a+b=7，
∴a+b+c=12，即△ABC的周长为12．

点评 本题主要考查换元法解方程的方法和勾股定理，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．