Question

20．如图，E、F分别为正方形ABCD的边AB、AD上的点，且AE=AF，连接EF，将△AEF绕点A逆时针旋转45°，使E落在E₁，F落在F₁，连接BE₁并延长交DF₁于点G，如果AB=2$\sqrt{2}$，AE=1，则DG=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 连接AC、F₁E₁、DE₁，F₁E₁交AD于M，延长BE₁交DF₁于H，如图，先利用正方形的性质得到∠DAC=∠BAC=45°，再根据旋转的性质得∠E₁AE=∠FAF₁=45°，AE₁=AF₁=AE=AF=1，于是可判断点E₁在AC上，△AE₁F₁为等腰直角三角形，再证明E₁F₁∥AB，作E₁N⊥AB于N，计算出BE₁=$\sqrt{5}$，易证得△ABE₁≌△ADE₁≌△ADF₁得到DE₁=DF₁=BE₁=$\sqrt{5}$，∠ABH=∠ADH，接着利用面积法计算出E₁H=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，然后计算出HF₁=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，所以DH=DF₁-HF₁=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

解答 解：连接AC、F₁E₁、DE₁，F₁E₁交AD于M，延长BE₁交DF₁于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAC=∠BAC=45°，
∵△AEF绕点A逆时针旋转45°，
∴∠E₁AE=∠FAF₁=45°，AE₁=AF₁=AE=AF=1，
∴点E₁在AC上，△AE₁F₁为等腰直角三角形，
∴∠AE₁F₁=45°，E₁F₁=$\sqrt{2}$，AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴E₁F₁∥AB，DM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
作E₁N⊥AB于N，如图，AN=E₁N=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴BE=AB-AN=2$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴BE₁=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
易证得△ABE₁≌△ADE₁≌△ADF₁，
∴DE₁=DF₁=BE₁=$\sqrt{5}$，∠ABH=∠ADH，
∴∠DHB=∠DAB=90°，
∵$\frac{1}{2}$DM•E₁F₁=$\frac{1}{2}$•E₁H•DF₁，
∴E₁H=$\frac{\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△HF₁E₁中，HF₁=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-（\frac{3\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴DH=DF₁-HF₁=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
故答案为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和正方形的性质．