Question

14．如图，抛物线y=x²+bx+c经过点A（-1，0），B（3，0）．请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．

Answer 1

分析 （1）由于抛物线y=x²+bx+c经过A（-1，0），B（3，0）两点，根据待定系数法可求抛物线的解析式；
（2）先得到点E（2，-3），根据勾股定理可求BE，再根据直角三角形的性质可求线段HF的长．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c经过点A（-1，0），B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为：y=x²-2x-3；

（2）∵点E（2，m）在抛物线上，
∴m=4-4-3=-3，
∴E（2，-3），
∴BE=$\sqrt{（3-2）^{2}+（0+3）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵点F是AE中点，抛物线的对称轴与x轴交于点H，即H为AB的中点，
∴FH是三角形ABE的中位线，
∴FH=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{10}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，勾股定理，直角三角形的性质，方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度．