Question

11．如图，在?ABCD中，以BC为斜边在?ABCD内作等腰直角△BCE，连接DE，过点E作EF⊥DE交AD于点F，∠CDE=∠CED=∠DCB．
（1）若BC=2$\sqrt{2}$，求AE的长；
（2）连接FB，求证：EF+FA=FB．

Answer 1

分析 （1）首先证明∠DCE=30°，推出△AEB是等边三角形，由此即可解决问题；
（2）在FD上取一点H，使得FH=FE．先证明△FHE是等边三角形，再证明△HEA≌△FEB即可解决问题；

解答 （1）解：在Rt△BCE中，∵CE=EB，BC=2$\sqrt{2}$，
∴EC=EB=2，设∠CDE=∠CED=∠DCB=x，
则有：45°+$\frac{1}{2}$（180°-2x）=x，
解得x=75°，
∴∠DCB=30°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠ABC=180°-∠DCB=120°，
∵∠EBC=45°，
∴∠ABE=60°，
∵CD=CE=EB=AB，
∴△AEB是等边三角形，
∴AE=BE=2．

（2）在FD上取一点H，使得FH=FE．
∵∠DEF=∠CEB=90°，∠DEC=∠DAB=75°，
∴∠BEF=105°，
∴∠FAB+∠FEB=180°，
∴∠AFE=180°-∠ABE=120°，
∴△HFE=60°，
∴△FHE是等边三角形，
∴∠HEF=∠AEB，
∴∠HEA=∠FEB，∵EH=EF，EA=EB，
∴△HEA≌△FEB，
∴AH=FB，
∴AF+FH=FB，∵FH=FE，
∴EF+FA=FB．

点评 本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是发现△ABE是等边三角形，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．