Question

6．如图，已知平行四边形OABC的一边OA在x轴上，O为原点，顶点B，C均在第一象限，且A、C两点坐标分别为（a，0）、（b，c）．
（1）求顶点B的坐标．
（2）连接AC，OB，求AC²+OB²的值，并证明b²+c²=a²时，四边形OABC是菱形．
（3）若已知a=5，b=1，c=4，过点E的直线EF平分该四边形的面积且交直线CB于点F，当E（1，0）时，求出点F的坐标．

Answer 1

分析 （1）先判断出四边形CEFB是矩形，得出EF=BC，即可求出OF=a+b，即可得出结论；
（2）利用平面坐标系中，两点间的距离公式得出AC²+OB²，再利用平行四边形的性质即可得出OM²+CM²=a²，用勾股定理的逆定理即可得出结论；
（3）先判断出过平行四边形的对角线的交点的直线把平行四边形分成面积相等的两部分，即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，
过点C作CE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，
∴四边形CEFB是矩形，
∴EF=BC，
∵C（b，c），
∴E（b，0），
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，BC=OA=EF，
∵A（a，0），
∴OF=EF+OE=a+b，
∴B（a+b，c），
（2）如图2，
①连接AC，OB交于M，
由（1）知，B（a+b，c），
∵A（a，0），C（b，c），
∴AC²+OB²=（a-b）²+c²+（a+b）²+c²=2（a²+b²+c²），
②由①知，AC²+OB²=2（a²+b²+c²），
∵b²+c²=a²，
∴AC²+OB²=2（a²+b²+c²）=2（a²+a²）=4a²，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OM=$\frac{1}{2}$OB，CM=$\frac{1}{2}$AC，
∴OM²+CM²=a²，
∵C（b，c），
∴OC²=b²+c²=a²=OM²+CM²，
∴△OCM是直角三角形，
∴∠OMC=90°，
∴OB⊥AC，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴?OABC是菱形；

（3）如图2，∵a=5，b=1，c=4，
∴A（5，0），C（1，4），B（6，4），
设AC和OB的交点为M，
∵过点E的直线EF平分该四边形的面积且交直线CB于点F，
∵直线EF过点M，
∵B（6，4），
∴M（3，2），
∵E（1，0），
∴直线EF的解析式为y=x-1，
当y=4时，x=5，
∴F（5，4）．

点评 此题是四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定，直角三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，解（1）的关键是求出OF=a+b，解（2）的关键是判断出OM²+CM²=a²，解（3）的关键是掌握平行四边形的性质，是一道基础题目．