Question

12．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连接AE．
（1）求证：BF=DF；
（2）求证：AE∥BD；
（3）若AB=6，AD=8，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）由翻折的性质可知∠EBD=∠CBD，由矩形的性质可知：AD∥BC，从而得到∠ADB=∠DBC，于是∠EBD=∠ADB，故此BF=DF；
（2）由BE=AD，BF=FD，可知AF=EF，从而得到∠EAF=∠AEF，然后可证明∠AEF=∠EBD，从而可证明AE∥BD；
（3）在△AFB中利用勾股定理可求得BF的长．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠DBC=∠ADB．
由翻折的性质可知：∠DBC=∠EBD，
∴∠ADB=∠EBD．
∴BF=FD．
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC．
由翻折的性质可知：BE=BC，
∴AD=BE．
由（1）可知：BF=DF，
∴AF=EF．
∴∠AEB=∠EAF．
∵∠AFE=∠BFD，∠FBD=∠FDB，
∴∠AEB=∠EBD．
∴AE∥BD．
（3）在Rt△ABF中，设BF=FD=x，则AF=8-x，由勾股定理得：AB²+AF²=BF²，即6²+（8-x）²=x²．
解得：x=$\frac{25}{4}$．
∴BF的长为$\frac{25}{4}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理的应用，由翻折的性质找出相等的角或边是解题的关键．