Question

11．如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3$\sqrt{3}$，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB．
（1）线段DC=4；
（2）求线段DB的长度．

Answer 1

分析 （1）证明△ACD是等边三角形，据此求解；
（2）作DE⊥BC于点E，首先在Rt△CDE中利用三角函数求得DE和CE的长，然后在Rt△BDE中利用勾股定理求解．

解答 解：（1）∵AC=AD，∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴DC=AC=4．
故答案是：4；

（2）作DE⊥BC于点E．
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
又∵AC⊥BC，
∴∠DCE=∠ACB-∠ACD=90°-60°=30°，
∴Rt△CDE中，DE=$\frac{1}{2}$DC=2，
CE=DC•cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴BE=BC-CE=3$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．
∴Rt△BDE中，BD=$\sqrt{D{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了旋转的性质以及解直角三角形的应用，正确作出辅助线，转化为直角三角形的计算是关键．