Question

1．已知一次函数y=k₁x+b与反比例函数y=$\frac{k_2}{x}$的图象交于第一象限内的P（$\frac{1}{2}$，8），Q（4，m）两点，与x轴交于A点．
（1）分别求出这两个函数的表达式；
（2）写出点P关于原点的对称点P'的坐标；
（3）求∠P'AO的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根据P（$\frac{1}{2}$，8），可得反比例函数解析式，根据P（$\frac{1}{2}$，8），Q（4，1）两点可得一次函数解析式；
（2）根据中心对称的性质，可得点P关于原点的对称点P'的坐标；
（3）过点P′作P′D⊥x轴，垂足为D，构造直角三角形，依据P'D以及AP'的长，即可得到∠P'AO的正弦值．

解答  解：（1）∵点P在反比例函数的图象上，
∴把点P（$\frac{1}{2}$，8）代入$y=\frac{k_2}{x}$可得：k₂=4，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$，
∴Q （4，1）．
把P（$\frac{1}{2}$，8），Q （4，1）分别代入y=k₁x+b中，
得$\left\{\begin{array}{l}8=\frac{1}{2}{k_1}+b\\ 1=4k_1^{\;}+b\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k_1}=-2\\ b=9\end{array}\right.$，
∴一次函数的表达式为y=-2x+9；        
（2）点P关于原点的对称点P'的坐标为（$-\frac{1}{2}$，-8）；
（3）过点P′作P′D⊥x轴，垂足为D．
∵P′（$-\frac{1}{2}$，-8），
∴OD=$\frac{1}{2}$，P′D=8，
∵点A在y=-2x+9的图象上，
∴点A（$\frac{9}{2}$，0），即OA=$\frac{9}{2}$，
∴DA=5，
∴P′A=$\sqrt{P′{D^2}+D{A^2}}=\sqrt{89}$，
∴sin∠P′AD=$\frac{P′D}{P′A}=\frac{8}{{\sqrt{89}}}=\frac{{8\sqrt{89}}}{89}$，
∴sin∠P′AO=$\frac{{8\sqrt{89}}}{89}$．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，中心对称以及解直角三角形，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．